Александра Михайловна родственница М.Ю. Лермонтова по линии бабушки Елизаветы Алексеевны. Лермонтов зачастую называл ее кузиной. Познакомились они в Москве в 1828 году во время его учебы в Московском университетском благородном пансионе. Отношения между ними были теплыми, искренними и сблизились они на почве хорошего взаимопонимания. Верещагина тонко чувствуя беспокойную натуру поэта, вовремя могла предостеречь поэта от ненужных поступков, так например, когда Лермонтов собирался поступать в юнкерскую школу, Александра писала: «…К моему несчастью, я слишком хорошо вас знаю, чтобы быть спокойной; я знаю, что вы способны резаться с первым встречным и из-за первой глупости — фи: это стыдно!». И как ни кто другой радовалась его успехам: «Вы офицер, примите мои поздравления. Это для меня большая радость, тем более, что она была неожиданной. … я скорее ожидала встретить вас солдатом. Согласитесь, я имела основания бояться, и даже если б вы были вдвое благоразумнее, чем прежде, вы все же еще не вышли из разряда сорванцов. … Но все-таки это уже шаг, и вы, я надеюсь, не шагнете обратно».
Читать далее
Верещагина восторгалась способностями Лермонтова к поэзии, музыке, рисованию и считала его по-настоящему талантливым человеком. «Что касается вашего рисования, говорят, что вы делаете удивительные успехи, и я в это охотно верю; умоляю, Мишель, не забрасывайте этот дар, картина, которую вы прислали Алексею, очаровательна. А ваша музыка? Играете ли вы попрежнему/… поёте ли вы/… как раньше во все горло и до потери дыхания».
Потом в одном из писем 1835 года она напишет: «Мой милый Мишель, я больше не беспокоюсь за ваше будущее — однажды вы станете великим человеком…».
О теплых отношениях М.Ю. Лермонтова и А.М. Верещагиной, в своих воспоминаниях писал Аким Павлович Шан-Гирей: «…Александра Михайловна Верещагина кузина его, принимала в нем большое участие, она отлично умела пользоваться немного саркастическим направлением ума своего и иронией, чтобы овладеть этой беспокойною натурой и направлять ее, шутя и смеясь, к прекрасному и благородному».
В 1837 Александра Михайловна уезжает за границу и выходит замуж за барона Карла Хюгеля. Лермонтов в это время пишет шутливую балладу «Югельский барон» и посвящает ее Верещагиной.
Несмотря на свой отъезд, она не перестает интересоваться судьбой Лермонтова и часто переписывалась с бабушкой поэта Елизаветой Алексеевной Арсеньевой и долго и бережно хранила ценные вещи связанные каким либо образом с именем М.Ю. Лермонтова. Это его автопортрет, рисованный и подаренный в свое время Варваре Лапухиной, это и портрет самой Вареньки, рисованный Лермонтовым. А так же стихи, рисунки написанные поэтом в альбоме Верещагиной и автограф поэмы «Ангел смерти».